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旋转体·内容简析(二)

  3.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积

    (1)圆柱、圆锥、圆台和多面体一样都是可以平面展开的。

    ①圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,是求其侧面积的基本依据。

    圆柱的侧面展开图,是由底面图的周长和母线长组成的一个矩形。

    ②圆锥和侧面展开图是一个由两条母线长和底面圆的周长组成的扇形,其扇形的圆心角为

    ③圆台的侧面展开图是一个由两条母线长和上、下底面周长组成的扇环,其扇环的圆心角为

    这个公式有利于空间几何体和其侧面展开图的互化

    显然,当r=0时,这个公式就是圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式,所以,圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式是圆台相关角的特例。

    (2)圆柱、圆锥和圆台的侧面公式为

    S侧=π(r+R)l

    当r=R时,S侧=2πRl,即圆柱的侧面积公式。

    当r=0时,S侧=rRl,即圆锥的面积公式。

    要重视,侧面积间的这种关系。

    (3)球面是不能平面展开的图形,所以,求它的面积的方法与柱、锥、台的方法完全不同。

    推导出来,要用“微积分”等高等数学的知识,课本上不能算是一种证明。

    求不规则圆形的度量属性的常用方法是“细分——求和——取极限”,这种方法,在学完“微积分”的相关内容后,不证自明,这里从略。

    4.画圆柱、圆锥、圆台和球的直观图的方法——正等测

    (1)正等测画直观图的要求:

    ①画正等测的X、Y、Z三个轴时,z轴画成铅直方向,X 轴和Y轴各与Z轴成120°。

    ②在投影图上取线段长度的方法是:在三轴上或平行于三轴的线段都取实长。

    这里与斜二测画直观图的方法不同,要注意它们的区别。

    (2)正等测圆柱、圆锥、圆台的直观图的区别主要是水平放置的平面图形。

    用正等测画水平放置的平面圆形时,将X轴画成水平位置,Y轴画成与X轴成120°,在投影图上,X轴和Y轴上,或与X轴、Y轴平行的线段都取实长,在Z轴上或与Z轴平行的线段的画法与斜二测相同,也都取实长。

    5.关于几何体表面内两点间的最短距离问题

    柱、锥、台的表面都可以平面展开,这些几何体表面内两点间最短距离,就是其平面内展开图内两点间的线段长。

    由于球面不能平面展开,所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法,这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长。


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标签:旋转 内容 简析
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